Si tratta di una mensola delle dimensioni di 650 mm (lunghezza) x 550 mm (altezza) avente uno spessore di 500 mm, aggettante, nelle parte inferiore, da una trave, di calcestruzzo di cemento armato, avente un’altezza di 1200 mm per uno spessore di 500 mm.

Il modello fa riferimento ad un tratto di trave della lunghezza di 1500 mm incastrato ad un’estremità: il primo tratto di trave, dalla parte dell’incastro, viene considerato come una zona perturbata e, quindi, il suo stato di tensione non viene analizzato.

Il materiale (calcestruzzo) ha un modulo di elasticità pari a 35000 MPa.

Per l’acciaio utilizzato si adotta una tensione di lavoro pari a 240 MPa con tensione di snervamento di 540 MPa.

Il carico (verticale e diretto verso il basso) è pari a 300 kN distribuiti su di una lunghezza di 300 mm a partire dalla distanza di 200 mm dall’attacco della mensola alla trave.

Si fa riferimento ad un sistema di assi cartesiani:

asse x: orizzontale parallelo all’asse della trave e diretto dall’incastro verso la mensola,

asse y: verticale diretto verso l’alto.

Per quanto concerne la struttura di calcestruzzo si scelgono due modelli:

1. MODELLO A LASTRA.

Si sceglie una modellazione con elementi di lastra soggetti ad un sistema piano di deformazione.

La mesh corrisponde ad elementi quadrati a quattro nodi aventi il lato pari a 50 mm: si avranno pertanto 720 elementi e 775 nodi per la trave e 143 elementi con 156 nodi per la mensola.

Applicato il carico sulla struttura si ha, per il nodo dell’estremità superiore della mensola (ovvero il nodo n° 931) uno spostamento.

dx = 0,048055 mm, dy = 0,62039 mm.

2. MODELLO A GRATICCIO DI TRAVI.

Scopo di questa schematizzazione è quello di ridurre i tempi di elaborazione (nell’analisi non lineare con materiale non resistente a trazione) senza peraltro ridurre la precisione di calcolo.

Lo schema dell’elemento corrisponde ad un sistema di 6 travi (due diagonali e quattro lungo i lati) privi di rigidezza flessionale.

Assumendo per le travi diagonali un’area di 8000 mm2 e per quelle longitudinali e trasversali pari a 22000 mm2 si trovano gli spostamenti:

dx = 0,049991 mm, dy = 0,61617 mm;

con errori rispettivamente del 4,03 (0,31 se riferito allo spostamento massimo) e dello 0,68 %.

L’armatura viene calcolata dapprima secondo i metodi tradizionali ed, in un secondo momento, utilizzando il calcolo agli elementi finiti col metodo che verrà qui di seguito proposto.

Si ha un momento M = 300 x 1,35 = 555 kNm da cui si ricava un’area di acciaio di 2200 mm2 pari a 6 barre da 22 mm di diametro (2281 mm2)

Si dispongono staffe verticali ed orizzontali costituite da due barre da 8 mm di diametro poste ad un iterasse di 150 mm.

Lo sforzo di trazione risulta pari a 300 x √2 = 424 kN da cui si ricava un’area di 1770 mm² ovvero 4 barre con diametro di 24 mm.

Si ha un momento M = 300 x 0,35 = 105 kNm da cui si ricava un’area di acciaio di 970 mm2 pari a 4 barre da 18 mm di diametro (1018 mm2).

In prossimità della mensola si disporrà, inoltre, un’armatura atta a sostenere il carico (verticale) trasmesso dalla mensola stessa..Essendo il carico pari a 300 kN si dovrà disporre un’armatura di 1250 mm² par a 4 barre del diametro di 20 mm

Si analizza ora l’andamento delle tensioni nel modello a lastra della mensola: il calcolo è quello corrispondente al comportamento lineare della struttura per materiale e geometria.

L’andamento delle tensioni principali è rappresentato nella seguente figura 1:

Fig.: 1. Tensioni principali.

Nel grafico di fig. 2 si rappresenta l’andamento delle tensioni sx nella sezione tra i nodi con coordinate x = 500 mm, Y = 600 mm e x = 500 mm, Y = 1200 mm. Si ricava così uno sforzo di trazione complessivo pari a 657 kN con risultante posta a circa 110 mm dal bordo superiore.

Essendo l’andamento delle tensioni praticamente eguale a quello calcolato alla De Saint Venant si sceglie una quantità di acciaio corrispondente a quella vista in precedenza ovvero 6 barre del diametro di 22 mm..

Lo sforzo complessivo nella sezione tra i punti di coordinate x = 120 mm, y = 600 e x = 1500, y =600 mm di trazione vale 238 kN applicati a circa 75 mm dall’inizio della mensola.

Si disporranno 4 barre del diametro di 18 mm.

Nella sezione tra i punti x = 1500 mm, y = 500 mm, x = 1650 mm, y = 500 mm lo sforzo complessivo di trazione vale 84 kN applicati a circa 40 mm dall’inizio della mensola.

Si disporranno 4 barre del diametro di 12 mm.

Si consideri ora la sezione inclinata tra i nodi di coordinate x 0 950 mm, y = 0 e x = 1500 mm, y = 550 mm lo sforzo complessivo vale 369 kN posto ad una distanza di 281 mm dal vertice (misura sulla linea inclinata).

Si disporrà un’armatura costituita da 5 barre del diametro di 20 mm.

Lo sforzo complessivo di trazione nella sezione tra x = 1500 mm, y = 350 mm e x = 1500, y = 350 mm vale 232 kN applicati a circa 43 mm dall’inizio della mensola.

Si disporranno 4 barre del diametro di 18 mm.

Sulla trave e sulla mensola si disporranno inoltre staffe a due bracci orizzontali e verticali costituite da barre del diametro di 8 mm ad un interasse di 150 mm.

Nel presente paragrafo si verificheranno le tensioni nell’armatura e si procederà all’eventuale correzione del suo dimensionamento.

1. VERIFICA PRIMO DIMENSIONAMENTO.

Il calcolo delle tensioni viene qui eseguito considerando le barre di acciaio aventi resistenza illimitata e comportamento lineare del materiale e il calcestruzzo resistente solo a compressione con la limitazione di tensione convenzionale (riferita alla barre de reticolo) pari a 40 MPa.

In questa fase si trascureranno le tensioni nelle staffe orizzontali e verticali. Per le restanti barre (armatura principale) si ha (la tensione ammissibile viene assunta pari a 240 MPa):

Armatura superiore della trave:

La tensione massima rilevata vale: s = 201 MPa.

L’armatura verrà pertanto ridotta diminuendo il diametro delle barre che verrà assunto pari a 20 mm.

Rinforzo verticale della trave:

La tensione massima rilevata vale: s = 201 MPa.

L’armatura rimarrà invariata: una riduzione della sezione delle barre porterebbe ad una tensione superiori a quella massima ammissibile.

Rinforzo verticale della mensola:

La tensione massima rilevata vale: s = 159 MPa.

L’armatura verrà pertanto ridotta diminuendo il diametro delle barre che verrà assunto pari a 10 mm.

Armatura inclinata a 45°:

La tensione massima rilevata vale: s = 286 MPa.

L’armatura verrà pertanto ridotta diminuendo il diametro delle barre che verrà assunto pari a 22 mm.

Armatura superiore della mensola:

La tensione massima rilevata vale: s = 209 MPa.

L’armatura rimarrà invariata: una riduzione della sezione delle barre porterebbe ad una tensione superiori a quella massima ammissibile.

2. VERIFICA FINALE.

Se le correzioni apportate sono, come in questo caso, modeste si può passare alla verifica più avanzata (comportante ovviamente tempi di elaborazione maggiorati) in cui si considereranno tutte le barre aventi un comportamento lineare sino alla tensione di snervamento di 540 MPa e perfettamente plastico dopo questa deformazione. Nel primo tratto di trave (600 mm) verso l’incastro, essendo le tensioni alterate dall’imposizione di un vincolo fittizio (incastro), non verrà considerata la possibilità di plasticizzazione delle barre e la loro resistenza verrà considerata illimitata.

Trattandosi inoltre di un calcolo non lineare sarà opportuno controllare il coefficiente di sicurezza a rottura sino al collasso della struttura.

Le tensioni, nell’armatura principale oggetto del nostro studio, restano sempre nei limiti dei 240 MPa.

Nella sottostante figura 7 sono riportati gli spostamenti del nodo di estremità (superiore) della mensola in funzione degli incrementi di carico (si inizia con un carico pari al 20% del carico di esercizio ed ad ogni passo corrisponde un incremento di carico pure del 20%. Come si può osservare si ha un andamento praticamente lineare sino ad un carico pari a 2,2 volte il carico di esercizio: Il collasso della struttura si può valutare in corrispondenza dell’incremento successivo corrispondente ad un coefficiente di sicurezza pari a 2,4.



Fig.: 7. Spostamenti orizzontale e verticale dell’estremità della mensola.