Le tensioni, sia di compressione che di trazione, nelle varie aste hanno un valore medio inferiore ai 2 N/mm², notevolmente inferiori a quelli ammissibili (tab 2,3).

La freccia in mezzeria del corrente superiore risulta pari a 10cm mentre nella catena inferiore pari a 8cm (fig 12), analogamente a quanto geometricamente rilevato. Considerando la deformazione dovuta al taglio i valori degli spostamenti risultano analoghi al caso in cui non venga considerata.

L’analisi ad elementi finiti condotta considerando anche il sovraccarico accidentale di 400 Kg/m², invece, porta a tensioni di compressione circa pari a 9 MP nel diagonale medio ed in quello centrale e a tensioni di trazione di circa 6 Mpa nella catena.

Le tensioni di compressione sono pari a quelle ammissibili, ma la freccia nel corrente superiore risulta eccessiva per la funzionalità del solaio soprastante (f =40cm ).

Il legno senza difetti è un materiale anisotropo, cioè in un generico punto, presenta caratteristiche fisico-meccaniche diverse nelle varie direzioni.

Tuttavia date le caratteristiche di accrescimento del legno degli alberi, per i nostri scopi è possibile considerare il legno, prescindendo dalla sua non omogeneità , come un materiale ortotropo, cioè come un materiale le cui caratteristiche in un punto sono semplicemente individuabili sulla base delle caratteristiche individuate per tre direzioni e, conseguentemente, tre piani ortogonali tra loro rispetto alle quali il materiale si comporta in modo simmetrico nei due versi, positivo e negativo.

In ogni punto della sezione retta di un tronco (sezione normale all’asse dell’albero) si può individuare oltre alla direzione parallela all’asse dell’albero in quel punto (direzione longitudinale L, normale al piano della sezione), una direzione tangente all’anello di accrescimento annuale in quel punto (dir. tangenziale), ed una direzione normale alla direzione tangenziale nel punto (direzione radiale R): tali direzioni costituiscono le tre direzioni di ortotropia (fig 13).

Come detto un materiale ortotropo è un materiale che ha differenti proprietà e differenti valori di rigidezza lungo tre direzioni perpendicolari chiamate direzioni principali. In generale un materiale ortotropo ha nove costanti indipendenti.

moduli di Young nelle tre direzioni

moduli di taglio

coefficienti di Poisson

Definizione di per un carico monoassiale in direzione 1

Tra i sei coefficienti di Poisson devono essere soddisfatte le seguenti relazioni:

La matrice di deformabilità che è l’inversa della matrice di elasticità è data da

Per trattare il legno possiamo quindi considerare:

Se si considera quindi che nell’intorno del punto, come poi si riscontra effettivamente nella pratica, sia, essendo il valore del modulo di Poisson in direzione y quando la sollecitazione agisce in direzione x,

è possibile allora definire completamente le caratteristiche di deformabilità meccanica del legno in quel punto attraverso i soli valori dei moduli di elasticità normale (E_L, E_T, E_R), dei moduli di elasticità tangenziale ( ) e dei rapporti mutui sopra definiti (N_LR, N_LT, N_RT).

In tal modo la matrice di deformabilità che lega le tensioni alle deformazioni, risulta simmetrica (di ordine 6 x 6), come visto succede di regola nei materiali ortotropi:

dove gli elementi del vettore deformazioni e del vettore tensioni hanno il significato mostrato in figura 14.

Per il legname di conifera valgono le seguenti relazioni approssimate:

Per scopi di calcolo strutturale è ragionevole considerare , o addirittura (ortotropia cilindrica fig 15).

Detto questo, le caratteristiche dell’ Abete rosso risultano:

Gli effetti del ritiro (fig 16) dovuto alle variazioni di umidità hanno un notevole effetto sul legno, per questo motivo è stato considerato anche questo effetto.

Dall’ispezione effettuata con il prof. Ceccotti del CNR – IVALSA è emerso che dall’aspetto delle fessure, dalla loro ampiezza e dalla loro lunghezza il legno è stato messo in opera non stagionato (con umidità interna pari a circa il 14%) e con il passare del tempo si è asciugato arrivando ad avere una umidità propria del 9%. Questo fenomeno di diminuzione dell’umidità interna è stato accentuato negli ultimi anni dalla realizzazione dell’impianto di riscaldamento che ha notevolmente cambiato le condizioni all’interno dell’ambiente in cui si trova la trave oggetto di studio.

Poichè il programma ad elementi finiti adottato non permetteva di tenere esplicitamente conto del ritiro si è ricorso ad un trucco e cioè si è simulata la variazione di umidità tramite una variazione di temperatura.

per conifere si ha

Assunta una variazione di umidità

uguagliando le contrazioni dovute alla variazione di umidità

alle contrazioni dovute alla variazione di temperatura

essendo noto il coefficiente di dilatazione termica

si ricava la variazione di temperatura da imporre

Nel programma si introduce, quindi, un valore di temperatura di riferimento e solo per valori diversi da questo nascono nel materiale degli sforzi termici. Si è fissato un valore di t _rif = 0 e poi si è applicata nei nodi degli elementini una temperatura detta fixed pari t _fixed =-150 K.

Se rappresenta la deformazione istantanea del materiale, se si lascia agire nel tempo la tensione, mantenuta costante, per il fenomeno della viscosità la deformazione tenderà ad aumentare nel tempo di una quantità ε _t,diff che è in generale funzione non lineare dello stato tensionale e del tempo t.

Si definisce un coeff che è funzione del livello tensionale.

E’ complicato tener conto della variazione del fenomeno in funzione dello stato tensionale, per cui in genere si preferisce nei codici di calcolo semplificare il fenomeno e considerare Φ_t indipendente dal livello raggiunto dello stato tensionale ed assumere valori di Φ_t forfettari (mi riconduco al caso della viscosità lineare).

Quindi è possibile calcolare la deformazione a tempo t considerando il materiale dotato di un modulo elastico fittizio

Questo è solo un artificio di calcolo , non significa assolutamente che il modulo elastico istantaneo del legno diminuisca nel tempo così come non è vero che diminuisca nel tempo ad es. l’effettivo modulo elastico del calcestruzzo , o di altri materiali viscoelastici.

In altre parole se all’istante t si sottopone il provino ad un incremento di tensione Δs , l’incremento di dilatazione sarà:

dove E_i è ovviamente il valore di E istantaneo del legno.

Il contenuto di umidità invece influisce realmente sul valore effettivo di E_i.

Quando il carico viene rimosso la dilatazione diminuisce istantaneamente di una quantità pressoché uguale alla corrispondente deformazione elastica istantanea.

La deformazione restante si ridurrà nel tempo successivo di un’altra quantità (detta elastica differita), mentre una deformazione residua resterà permanentemente (deformazione viscosa in senso stretto).

Nella presente analisi si è utilizzato Φ_t=1.5

Tale coefficiente si è applicato sia ai moduli elastici che ai moduli di taglio.

La modellazione con gli elementi beam non riesce a giustificare i dissesti rilevati nel nodo che hanno condotto alla diminuzione dell’area di contatto tra i denti del puntone e quelli della catena.

Si è quindi deciso di realizzare un modello più complesso e dettagliato, per indagare sulle cause che hanno portato a queste aperture e per conoscere quali siano le tensioni in questi nodi particolarmente delicati.

Il modello tridimensionale (fig 17) della struttura prevede una modellazione che rispecchia fedelmente la geometria della struttura sia per quanto riguarda le aste che penetrano l’una nell’altra, sia per quanto riguarda i denti dei nodi. Le aste della trave sono state collegate con particolari connettori, chiamati punti di contatto che lavorano solo a compressione e non a trazione.

Nel modello si sono anche realizzate le staffe in ferro che tengono uniti i vari componenti della struttura, collegate al legno con dei chiodi come effettivamente accade nella realtà (si è ipotizzata perfetta aderenza tra chiodo e legno). Ricapitolando quindi sia il contatto legno-legno che quello legno-ferro si è realizzato con i punti di contatto. L’attrito tra i materiali è stato considerato inserendo i coefficienti di attrito C₁ e C₂ lungo due direzioni giacenti nel piano di contatto. Tali coefficienti sono pari a 0.5 nel caso di contatto legno-legno e a 0.6 tra ferro-legno (si sono considerate le superfici asciutte, essendo la trave al riparo dalle intemperie).

Fig 19: valori degli sforzi assiali nel diagonale lungo e nella catena in sezioni lontane dai nodi