DOCUMENTAZIONE TECNICA CODICE DI CALCOLO STRAUS

ESEMPI DI CALCOLAZIONE TIPO

TITOLO

Analisi degli effetti del secondo ordine in pilastri presso-inflessi di calcestruzzo di cemento armato e calcolo di verifica statica.

SCOPO

Il presente elaborato espone le possibilità di applicazione del programma agli elementi finiti STRAUS indirizzate allo studio degli effetti del secondo ordine in pilastri presso-inflessi a sezione qualsiasi, di calcestruzzo (presso-flessione retta o deviata) di calcestruzzo di cemento armato tenendo conto anche dell'effetto delle deformazioni differite.

MODALITA' DI STUDIO

Lo studio si articola in tre fasi distinte:

1. Scelta del modelle della struttura.
2. Analisi delle tensioni e deformazioni.
3. Confronto con metodi di calcolo alternativi di sicura efficacia.

In particolare faremo riferimento, in questa applicazione, al caso di presso-flessione retta in un pilastro a sezione rettangolare con armatura simmetrica. In questo caso il calcolo risulta sensibilmente semplificato per la riduzione del numero di parametri incogniti che si riducono praticamente a due (rotazione e spostamento assiale) con notevole riduzione di tempi di elaborazione.

1. SCELTA DEL MODELLO

Il modello dovrà essere scelto in modo da soddisfare diverse esigenze.

Gli elementi strutturali più efficaci per simulare correttamente il reale funzionamento del pilastro (calcestruzzo) considerato sono elementi tridimensionali (brick) ad otto nodi allungati nella direzione dell'asse, associati a travi (nel caso di presso-flessione retta) oppure ad elementi piastra a quattro nodi (nel caso di presso-flessione deviata) disposti trasversalmente.

1.1. Elementi tridimensionali.

• Geometria: Le dimensioni di questi elementi vengono scelte “anomale” in quanto le tre dimensioni non sono dello stesso ordine di grandezza essendo la dimensione nel senso ortogonale all'asse di rotazione della sezione abbastanza ridotte per migliorare la qualità della soluzione, le dimensioni nel senso dell'asse del pilastro saranno invece abbastanza lunghe (per ridurre l'onere di calcolo) mentre quelle in direzione dell'asse di rotazione potranno essere assunte pari alla larghezza della sezione o ad una sua frazione. Ovviamente nel caso di presso-flessione deviata entrambe le dimensioni di “base” degli elemento saranno ridotte.
• Materiale: Il programma STRAUS non è in grado di trattare gli elementi tridimensionali con materiali aventi un modulo di elasticità nullo o con grandi variazioni pertanto per simulare il comportamento del calcestruzzo si adotterà per la zona del diagramma s-e corrispondente alla tensione di trazione un modulo di elasticità il più piccolo “accettabile” dal programma (circa 1/100 o 1/1000 del modulo di elasticità iniziale a compressione); per la zona corrispondente alla compressione si dovrà avere la stessa avvertenza nel caso non si adotti la linearità s-e .

1.2. Elementi lastra.

Gli elementi a sviluppo assiale (brick per il calcestruzzo trave per l'acciaio) devono essere collegati alle estremità da una struttura “ infinitamente” rigida a flessione che deve essere in grado di garantire la complanarità delle loro estremità: tale struttura dovrà essere una lastra (perpendicolare all'asse longitudinale del pilastro) con spessore e/o modulo di elasticità molto elevato

La densità del materiale costituente la lastra dovrà essere assunta nulla.

1.3. Elementi trave.

La lastra rigida vista sopra può essere sostituita, nel caso di presso-flessione retta in sezioni rettangolari da un coppia di travi, prive di peso, molto rigide a flessione e trazione.

Per le barre longitudinali di acciaio si potranno assimilare a travi (eventualmente prive di rigidezza flessionale) disposte, possibilmente, in coincidenza degli spigoli degli elementi tridimensionali.

APPLICAZIONE

Si prende in esame un pilastro incastrato alla base e libero in sommità avente un'altezza di 25.00 m ed una sezione quadrata di lato 1.00 m con un'armatura in prossimità dei quattro vertici (d = 4 cm) pari a 45 cm2 per vertice.

I parametri di sollecitazione in sommità risultano.

• Forza orizzontale F = 64.625 kN
• Carico verticale N = 1062.5 kN
• Momento flettente M = 2250.0 kN cm
• Non si tiene conto del peso proprio.

Il modulo di elasticità si assume costante e pari a 35000 Mpa

1. STUDIO CLASSICO.

Si divide il pilastro in 39 tronchi per ciascuno dei quali si suppone costante il grado di parzializzazione della sezione.

Lungo ciascun tronco si assume anche la sollecitazione costante e pari alla sollecitazione media.

La suddivisione in 39 tronchi garantisce una quasi perfetta individuazione dello stato di deformazione e sollecitazione: normalmente si ottiene un'ottima approssimazione con un numero molto minore (circa 8 o 10) di tronchi.

I risultati, relativi alla sola fase elastica, ottenuti con questa analisi sono:

• Spostamento in sommità d = 26.660 cm
• Sollecitazioni alla base P = 1062.50 kN

M = 1625.46 kN m

• Posizione asse neutro y = 29.8 cm
• Tensione massima nel calcestruzzo s = 13.9 MPa
• Tensione massima nell'acciaio s = 185.5 MPa

2. STUDIO CON MEDODO DEGLI ELEMENTI FINITI.

2.1. SOLE DEFORMAZIONI ELASTICHE.

2.1.1. Modello nº1.

Si analizza una parte del pilastro di larghezza pari a 2 cm: ovviamente L'area complessiva delle barre di acciaio ed i parametri di sollecitazione verranno ridotti nel rapporto tra le larghezze del pilastro reale e quelle del modello di riferimento (praticamente un cinquantesimo).

Il pilastro viene diviso in 100 tronchi di eguale altezza e, ciascun tronco, in 50 elementi tridimensionali ad 8 nodi (fig.1) . Questi elementi sono collegati, in sommità, da una coppia di travi aventi un'elevata rigidezza flessionale e bassa rigidezza assiale e torsionale.

Le barre di acciaio sono schematizzate come travi prive di rigidezza flessionale.

Il modulo di elasticità a trazione è assunto pari ad un millesimo di quello a compressione e che si ritiene costante sino a rottura.

Ne risulta una struttura con 10302 nodi e 30204 gradi di libertà che, con un elaboratore dotato di un processore Pentium II a 233 MHz, richiede un tempo di elaborazione di circa 7 minuti primi per iterazione.

I risultati parziali, in funzione del numero di iterazioni, sono riportati nella seguente tabella.

Le tensioni alla base del pilastro (fig.2) corrispondenti alla soluzione limitata a dieci iterazioni risultano:

• distanza dell'asse neutro dal bordo compresso y = 31.3 cm
• compressione massima nel calcestruzzo s = 13.9 Mpa
• trazione massima nel calcestruzzo s = 32.5 kPa
• trazione massima nell'acciaio s = 183.8 Mpa

L'andamento delle dilatazioni alla base è rappresentato in fig.3.

Si può osservare che, nonostante gli elevati valori dei rapporti di oscillazione delle forze e spostamenti (ultime due colonne della tabella) la soluzione ottenuta è praticamente esatta già con 10 iterazioni.

2.1.2. Modello nº2.

Il secondo modello è simile al primo con la sola differenza del numero di tronchi che risulta pari a 10 (tutti eguali).

Ne risulta una struttura con 1122 nodi e 3164 gradi di libertà che, con un elaboratore dotato di un processore Pentium II a 233 MHz, richiede un tempo di elaborazione di circa 35 minuti secondi per iterazione.

I risultati parziali, in funzione del numero di iterazioni, sono riportati nella seguente tabella.

Le tensioni alla base del pilastro corrispondenti alla soluzione limitata a dieci iterazioni risultano:

• distanza dell'asse neutro dal bordo compresso y = 30.0 cm
• compressione massima nel calcestruzzo s = 13.3 Mpa
• trazione massima nel calcestruzzo s = 31.1 kPa
• trazione massima nell'acciaio s = 175.9 Mpa

2.1.3. Modello nº3.

Nel terzo modello si hanno dieci tronchi di altezza variabile (partendo dalla parte inferiore rispettivamente 50, 50, 50, 100, 150, 250, 300, 450, 400 e 700 cm).

I risultati parziali, in funzione del numero di iterazioni, sono riportati nella seguente tabella.

Le tensioni alla base del pilastro corrispondenti alla soluzione limitata a dieci iterazioni risultano:

• distanza dell'asse neutro dal bordo compresso y = 38.0 cm
• compressione massima nel calcestruzzo s = 14.0 Mpa
• trazione massima nel calcestruzzo s = 22.8 kPa
• trazione massima nell'acciaio s = 127.9 Mpa

CONCLUSIONI

Dall'esame comparativo dei risultati ottenuto con il metodo classico con quello proposto si possono trarre le seguenti considerazioni:

• nonostante l'indice di convergenza degli spostamenti sia abbastanza elevato la precisione del calcolo degli stessi è molto elevata (negli esempi dell'ordine dello 0.3 – 0.4 %);
• è sufficiente una divisione in un numero limitato di tronchi. 10 nell'esempio citato;
• la diminuzione della lunghezza dei tronchi in prossimità della base (dove maggiore è il valore della curvatura) non aumenta la precisione di calcolo;
• lo stato di tensione alla base del pilastro risultante dall'analisi proposta non è attendibile, anche se i valori ottenuti possono dare utili indicazioni sul suo dimensionamento.

Si può quindi concludere che con lo studio in oggetto si ottengono degli ottimi risultati per quanto concerne gli spostamenti. I parametri di sollecitazione e le tensioni si ricaveranno dagli spostamenti calcolati. A questo proposito si ricordi che, il momento flettente alla base generato dal peso proprio del pilastro (se uniforme) assume il valore:

M = q h d (1 – 2/p) = 0.36 q h d

Essendo q ed h rispettivamente il peso per unità di lunghezza e l'altezza del pilastro, espressione questa che si ottiene approssimando la deformata con una curva sinusoidale.

Padova, febbraio 1999

Antonio Casellato