Articolo HSH pubblicato sul n.ro 4 della rivista ACCIAIO Aprile 1989
UN APPROCCIO ALLE TEMATICHE DI CALCOLO AUTOMATICO DELLE STRUTTURE IN ACCIAIO CON
UTILIZZO DI PERSONAL COMPUTER (estratto - gli interessati possono ricevere l'articolo completo di formule e figure)
Le tematiche di calcolo in ingegneria sono molto varie. Si appoggiano spesso a metodi consolidati nella
pratica professionale, in cui la portata delle ipotesi semplificative adottate non è più discussa
perchè se ne conoscono le implicazioni. Serve solo dichiarare lo schema logico assunto - modello del comportamento
strutturale e sua funzionalità- perchè il processo di calcolo diventi conseguente.
Altre volte invece le assunzioni sono proprie di un'applicazione specifica, la cui validità è limitata
alla consistenza di quelle in relazione al problema trattato. Ne sono esempio le trattazioni della
tecnica dei materiali e della geotecnica.
Un sistema di programmi di calcolo automatico che debba essere istituito in quest'ambiente
senza rinunciare alle caratteristiche proprie dell'applicazione al computer - ricerca della generalità
dell'impostazione. ottimizzazione degli algoritmi di calcolo, modularità, affidabilità- può seguire due
approcci sostanzialmente diversi: occuparsi degli aspetti di calcolo in senso stretto, risalendo all'origine
impostativa dei metodi ed evitando quelle approssimazioni che non siano strettamente necessarie
all'implementazione della soluzione numerica del problema, oppure dedicarsi agli aspetti operativi
comuni alle tematiche ricorrenti. Al primo estremo di queste categorie stanno i programmi dedicati
alla modellazione di strutture e di continui; al secondo estremo i programmi per la gestione delle
basi di dati, le cosiddette tabelle elettroniche, i CAD non verticalizzati.
Esistono poi moltissime occorrenze di calcolo o di automazione del processo progettuale ben lontane
da questi due estremi. Per esse dovrebbe essere l'utente direttamente interessato che programma la
propria applicazione adattandola alle proprie esigenze: infatti per queste tematiche è fondamentale
la conoscenza del problema e la sensibilità del progettista, mentre è spesso modesta la difficoltà della
loro traduzione in un programma automatico.
L'HSH, attiva in quest'ambiente nel settore dei micro e personal-computers sin da quando l'hardware
presente sul mercato ha mostrato le prime attitudini agli impieghi descritti, propone un approccio
sostanzialmente mosso nell'ambito delle tematiche di calcolo in senso stretto. Sono ricercate, cioè,
le formulazioni più generali possibili, che consentano all'utente di esprimere la propria concezione
strutturale senza costringerla ad approssimazioni di calcolo. I metodi impiegati sono di tipo "esatto",
nel senso che rispettano le ipotesi dichiarate con le sole inevitabili limitazioni di natura numerica.
L'impostazione è omogenea e normalizzata. E' possibile, quindi, che l'utente colleghi le applicazioni
proposte a proprie estensioni, dove queste non siano già previste nel sistema di calcolo che HSH
fornisce, od a strumenti di servizio proposti dalle case di hardware (editors, DBMS, tabelle
elettroniche) o dalle case di software (CAD generalizzati, programmi di pert, programmi di computo).
Raggruppando i programmi per tematiche affini si possono elencare le applicazioni che seguono.
Problemi di modellazione strutturale.
Le formulazioni sono di tipo esatto, generalmente nell'ambito del metodo delle deformazioni, con
algoritmi assunti nella prassi di queste applicazioni matematiche, sufficientemente generalizzati ed
ottimizzati. Sono trattati il problema della risposta statica e dinamica di strutture piane e spaziali a
comportamento elastico lineare, la modellazione mediante elementi finiti di lastre piane (piastre sottili
in accordo alla teoria di Kirkhoff, piastre spesse, a spessore variabile, in accordo alla teoria di Reissner,
che tiene conto della deformazione per taglio), di piastre appoggiate a letto di molle, di continui
tridimensionali (funzioni di forma ed integrazioni alla maniera degli elementi finiti in un piano e sviluppi
in serie in una direzione a questo ortogonale, con appoggio a coordinate cartesiane o cilindriche)
adatte, ad esempio, allo studio dei ponti.
Problemi preliminari alla modellazione strutturale.
Si tratta di una categoria di applicazioni relativa ad alcune operazioni preliminari alla modellazione
strutturale vera e propria, tra cui il dimensionamento e la verifica di sistemi di travi su appoggi rigidi
o su letto di molle indipendenti, soggetti a carichi statici o mobili secondo treni comunque
configurati, il dimensionamento e la verifica dei solai, il calcolo delle strutture miste acciaio-calcestruzzo,
con particolare riferimento ai problemi che si incontrano negli impalcati e nei ponti. Le formulazioni
sono ancora di tipo esatto, ma gli algoritmi sono specializzati all'applicazione, preferendo alla
generalizzazione la minimizzazione dell'input almeno rispetto alle situazioni di impiego più frequente.
Problemi legati al dimensionamento ed alla verifica delle sezioni di membrature di c.a. od acciaio.
Sono trattate le verifiche a flessione retta e deviata, presso-flessione con flessione retta o deviata,
per sezioni con un asse di simmetria, od a contorno poligonale del tutto generico, od, infine, per
sezioni anulari. Le verifiche possono essere svolte, secondo il criterio della conservazione delle
sezioni piane e rispetto alla limitazione delle tensioni di esercizio, o nei confronti di stati ultimi di
impiego. Le formulazioni sono di tipo esatto e possono tener conto di qualsiasi tipo di curva caratteristica
per i materiali. Gli algoritmi iterativi prescelti per la soluzione dei sistemi nonlineari delle equazioni
risultanti sono specializzati all'applicazione e implementati in forma tipicamente numerica
(metodi di Newton-Rhapson, o metodi dicotomici, con acceleratori di convergenza che
tengono conto del significato fisico del problema trattato).
Problemi strutturali speciali.
Vengono affrontate le tematiche delle strutture precompresse, siano esse travi isostatiche o
sistemi iperstatici, a cavi scorrevoli od aderenti. I metodi di dimensionamento e di verifica sono
particolarmente curati sotto il profilo algoritmico. Ad esempio il calcolo delle perdite viene svolto
risolvendo due equazioni disaccoppiate secondo di metodo del Busemann, e superando quindi le
approssimazioni a volte notevoli insite nel calcolo appoggiato all'assunzione del cosiddetto cavo
risultante. Sono trattati inoltre i problemi dei sistemi di controvento degli edifici alti, risolti in forma
compatta, impiegando per le mensole a sezione sottile la teoria del Vlassov, e ricorrendo a processi
di condensazione ciclica per i telai. Sono ricercate sia la risposta statica che quella dinamica delle
strutture così schematizzate.
Tra le altre tematiche particolari affrontate si citano ad esempio i problemi relativi alle opere di
presidio delle terre, considerati sia sotto l'aspetto della resistenza statica che rispetto a sollecitazioni
di tipo sismico.
Problemi ricorrenti nella tecnica delle fondazioni.
Problemi quali la determinazione della capacità portante di fondazioni dirette, la determinazione dello
stato di tensione e degli abbassamenti del suolo schematizzato come semispazio elastico a premessa
per un calcolo di consolidazione, la ricerca delle scelte progettuali corrette di pali, sono proposti sulla
base di sviluppi teorici rigorosi. E' questo un settore ove il ricorso a teorie specifiche è inevitabile.
Poter disporre quindi di metodi di calcolo in cui sia agevole variare le scelte strutturali, le caratteristiche
meccaniche ed i modelli di comportamento assunti per i terreni permette di stimare in modo consistente
l'influenza dei parametri in gioco sul grado di sicurezza delle strutture.
Strumenti di utilità.
A corredo dei programmi applicativi è disponibile una vasta "libreria" di routines matematiche, organizzate
attorno a nuclei algoritmici dedicati, ad esempio, alla soluzione dei sistemi di equazioni, alla minimizzazione
della banda di una matrice, a funzioni di tipo grafico.
L'impiego di questi strumenti, molto importante specialmente nella risoluzione di modelli strutturali
complessi, pu• riuscire talvolta l'unica chiave a garanzia operativa del risultato.
Ad esempio è eseguita una stretta omogeneità formale nell'assegnazione dei dati, che rende sufficiente
familiarizzare con quest'ambiente di calcolo per poter sviluppare le applicazioni più disparate. Anche
gli outputs, già redatti in forma di relazione di calcolo, sono impostati in maniera rigorosamente costante
e possono essere, conseguentemente, concatenati nel corso di una stessa sessione al computer o di
sessioni successive. La diagnostica presente e le funzioni di controllo dei modelli e dei risultati del
calcolo, risolte spesso anche in forma grafica, sono pure concepite in maniera uniforme.
Inoltre programmi diversi possono essere collegati in un unico pacchetto che tratti le applicazioni
caratteristiche di un certo ambiente professionale. Ad esempio sono particolarmente ricche le
specializzazioni dei pacchetti alla carpenteria metallica (appoggiati a cataloghi di profili standard ed a
tabelle per lo svolgimento delle verifiche principali), all'ingegneria civile ed alla prefabbricazione.
Si riportano alcuni estratti dei manuali d'uso dei codici di calcolo HSH.
Linee di influenza delle sollecitazioni e delle reazioni vincolari per sezioni di travi continue percorse da un
treno di carichi puntiformi (codice HSH-LI-2).
Il problema della trave continua per la condizione di carico corrispondente ad una posizione generica
del sistema di forze applicato, è studiato ciclicamente impiegando il metodo delle forze.
Con riferimento alla seguente figura
***
l'equazione di congruenza rispetto alla rotazione relativa delle estremità di due campate concorrenti nel
generico nodo i.esimo può scriversi:
***
avendo indicato con M i momenti, incogniti in corrispondenza agli appoggi e con * e *
i momenti di incastro perfetto, a sinistra ed a destra, corrispondenti ai carichi applicati.
La (1), posto per semplicità costante nelle campate il prodotto EJ, può scriversi anche nella
forma:
***
ove B* ed A* assumono il significato di rotazioni di cui si sta tracciando la linea d'influenza può
allora
partire per il caso di una trave continua a n campate, dalla soluzione di un sistema del tipo:
***
Il sistema (3) può scriversi, in forma matriciale:
***
e la soluzione può essere ottenuta formalmente come
***
Risulta ovvia l'estensione al caso di travi con caratteristiche geometriche variate campata per campata.
Il processo di formazione delle matrici in (3) può essere svolto entro un ciclo di operazioni fisse, a
contatore parametrizzato sul numero di campate. In particolare, se si impiega una matrice dei
coefficienti aumentata con una riga ed una colonna iniziali e finale, ed una matrice dei termini
noti aumentata di una riga iniziale o di una finale, non occorre differenziare il calcolo per le
campate di estremità purchè si ripristini formalmente il sistema risultante ad esempio disaccoppiandone
la prima e l'ultima equazione con l'imposizione, nella matrice dei coefficienti, di termini corrispondenti
diagonali unitari e di termini nulli fuori diagonale. Nel formalismo di calcolo è anzitutto calcolata ed
invertita la matrice F. Si creano, quindi, ciclicamente, i vettori B e si esegue il prodotto (5).
A titolo di esempio sono determinate le linee di influenza:
- del momento flettente, alla sezione di ascissa 25 m;
- della reazione vincolare al terzo appoggio;
- dello sforzo da taglio a destra del secondo appoggio per la trave rappresentata nella successiva
figura, sulla quale transita il treno di carichi indicatovi.
Analisi della risposta dinamica lineare di strutture piane intelaiate (codice HSH-SPD-1).
Il programma per l'analisi della risposta dinamica lineare di strutture piane intelaiate tratta modelli composti
da aste deformabili per flessione e sforzo normale, comunque inclinate e comunque vincolate tra di loro
ed al suolo, elementi monodimensionali indipendenti (molle), elementi composti trave-letto di molle
continuo (simulazione della interazione suolo struttura secondo il modello di Winkler).
Possono essere anche descritte situazioni particolari assegnando direttamente la matrice delle
rigidezze o delle flessibilità che le disciplina. La definizione delle condizioni al contorno del problema è
generalizzata, permettendo direttamente anche la particolarizzazione dell'analisi a strutture reticolari.
Una volta completata la definizione geometrica del modello è possibile produrne la suddivisione in
sottostrutture, ed operare progressive condensazioni statiche dei gradi di libertà, sino ad una
configurazione adatta all'analisi dinamica. Ai gradi di libertà conservati sono applicate le masse
definitive nel sistema di riferimento globale.
Il programma consente:
- la determinazione delle frequenze proprie di vibrazione della struttura e le relative configurazioni
modali (i metodi impiegati sono quelli di Householder e di Jacobi);
- l'analisi dello spettro di risposta, risolto per sovrapposizione dei modi (secondo diversi criteri: r.m.s.,
r.m.s. con fattori di cluster, somma diretta), con ricavo delle componenti massime di spostamento e di
sollecitazione generalizzate;
- lo studio della risposta della struttura ad un carico per cui si definisca una legge di evoluzione temporale.
Il problema risolto dal programma è del tipo
***
ove M è la matrice delle masse (assunta diagonale e definita positiva),
K è la matrice delle rigidezze,
a è il vettore spostamenti generalizzati.
L'equazione (1) è risolta imponendo lo spostamento nella forma
***
che, sostituito nella (1) porge:
***
ci si riconduce, cioè, ad un cosiddetto problema normale agli autovalori.
La soluzione generale dell'equazione (1) può essere espressa come combinazione lineare di m soluzioni
del tipo (2) nella forma:
***
dove le costanti * sono arbitrarie.
Gli autovalori calcolati dalla (3) sono ortonormalizzati alla matrice delle masse ovvero
***
Risolto il problema agli autovalori normalizzato, l'equazione di equilibrio per ogni modo si riduce alla
***
cioè alle n equazioni disaccoppiate
***
ove n sono i gradi di libertà.
L'equazione (6) è valutata per i primi m modi di vibrare per cui la risposta dinamica completa si ottiene
sommando i contributi di ciascuna modale:
***
E' spesso molto utile, dal punto di vista operativo, poter condurre il numero dei gradi di libertà necessari
per la descrizione della struttura ad un numero convenientemente ridotto di variabili significative per il
problema.
Il processo di riduzione per successive sostituzioni nel sistema delle equazioni, è noto come procedimento
di condensazione statica. Esso consiste in quanto segue.
Supposte presenti solo masse relative ad alcuni gradi di libertà, ordinate nella matrice M, il problema
di autovalori (3) si può scrivere, suddividendo le matrici K e M:
***
ove * e * sono spostamenti collegati ai gradi di libertà cui sono, e, rispettivamente, non sono associate
masse.
La seconda delle (9) porge la condizione:
***
che può essere utilizzata per eliminare *. Dalla (10) si ottiene, infatti:
***
da cui si ricava il problema di autovalori ridotto
***
ove
***
A titolo di esempio si ricavano le frequenze ed i modi propri di vibrare della struttura della figura
successiva. E' omessa, per brevità, la descrizione delle rigidezze e delle masse del sistema, così
come l'indicazione del processo di condensazione statica assunto.
Analisi della risposta elastica di piastre spesse appoggiate su letto di molle (terreno secondo il modello
di Winkler) (codice HSH-PLP-1).
Il programma impiega elementi isoparametrici ad otto nodi integrati numericamente. Degli aspetti teorici
si stralcia qui la parte relativa alle funzioni di forma impiegate. Si tratta di descrivere la funzione
spostamento entro ciascun elemento in termini di n parametri * generalmente associati ai valori di
questa funzione agli n punti nodali, nella forma:
**
in cui N* dipende dalle coordinate spaziali.
Con gli spostamenti di tutti i punti entro l'elemento, le deformazioni a ciascun punto possono determinarsi
con la
***
dove la matrice delle deformazioni B* è generalmente composta da derivate delle funzioni di forma rispetto
agli assi cartesiani. L'efficienza dei tipi di elemento utilizzati dipende da quanto le funzioni di forma sono
in grado di simulare il reale campo di spostamento.
La scelta di funzioni di forma appropriate non è tuttavia arbitraria e ci sono almeno due condizioni che
devono essere soddisfatte per assicurare la convergenza della soluzione al corretto risultato:
- le funzioni di forma devono garantire la continuità tra elementi;
- nel limite che la dimensione dell'elemento sia ridotta a entità infinitesime, la funzione di forma deve
assicurare uno stato di deformazione costante nell'elemento.
la famiglia isoparametrica è costituita da elementi in cui le funzioni di forma sono usate sia per definire
la geometria che il campo di spostamento.
Impiegando il sistema naturale di coordinate (*, *), che conduce all'uso di elementi con forme
curvilineari, si definiscono i valori delle coordinate X (*, *) e Y (*, *) a ciascun punto (*, *) entro
l'elemento per mezzo delle espressioni:
***
dove X, Y sono le coordinate del nodo i, e dove le funzioni forma bidimensionale quadratiche sono
elencate nella (4)
***
La numerazione dei nodi è quella indicata nella prima figura.
Ciascuna delle funzioni di forma ha valore unitario al nodo con il quale è in relazione, e valore nullo
negli altri nodi.
Esse hanno inoltre la proprietà che la loro somma in ciascun punto entro l'elemento è uguale a 1.
Si pone ora l'attenzione all'orientazione delle direzioni delle coordinate locali, poichè le funzioni di
forma definite precedentemente sono chiaramente dipendenti dalla orientazione di * e *.
Le variabili * ed * sono coordinate curvilinee, così le loro direzioni varieranno con le loro posizioni.
Tuttavia le loro direzioni generali sono sempre note e relative ai lati dell'elemento. L'espressione (4)
è basata sulla seguente dipendenza dell'elemento e degli assi locali:
- i nodi di un elemento sono numerati in sequenza antioraria partendo da un nodo d'angolo;
- l'asse positivo * è nella direzione definita muovendosi lungo il bordo dell'elemento dal primo numero
di connessione nodale dell'elemento al secondo ed al terzo;
- l'asse positivo * è nella direzione del bordo dell'elemento dal terzo numero di connessione nodale al
quarto ed al quinto.
HSH