***
si puo' rendere S minima e determinare i coefficienti AI in modo ottimale.
Il criterio si traduce nella scrittura del sistema di equazioni:
***
riconducibile alla forma:
***
avendo posto:
***
si dimostra che il sistema ammette sempre soluzione.
APPROSSIMAZIONE CON FUNZIONI TRIGONOMETRICHE
Assegnata una funzione Y=F(X) nell'intervallo *, si puo' approssimarla con un polinomio trigonometrico di grado M:
***
i cui coefficienti coincidono con le espressioni:
***
La funzione QM(X) e' detta serie di Fourier della funzione F(X),
Lo spettro di potenza della Y=(X) e' definito dal comportamento dei numeri *.
Per una generica funzione non periodica, la funzione delle ampiezze F(X) e la funzione delle frequenze F(v) sono legate dalle
***
che costituiscono le trasformate di Fourier diretta e inversa, *
Il calcolo numerico della trasformate di Fourier, si compie dopo aver posto la funzione integranda nella forma:
***
ove
***
della funzione complessa
***
interessa il modulo
***
che ha significato equivalente allo spettro di potenza del Y=F(X).
L'integrazione sopraindicata puo' essere piu' efficientemente eseguita con la tecnica denominata Fast Fourier Transform (FFT).
FORMULAZIONE SEMI-ANALITICA DI ELEMENTI FINITI
In molti problemi fisici le proprieta' geometriche dei materiali non variano lungo una delle direzioni coordinate. I carichi possono tuttavia variare in questa direzione.
Esempi:
In casi di questo genere, sia le funzioni che definiscono i carichi che quelle descrittive dello spostamento possono essere espresse con l'impiego della serie di Fourier. la schematizzazione della sezione trasversale, costante lungo l'asse longitudinale, rimane quella classica per elementi finiti.
PROBLEMI TIPICI DI ANALISI STRUTTURALE, NELL'AMBITO DEI QUALI SIA RICORRENTE L'IMPIEGO DELLA QUADRATURA NUMERICA
- definizione dei parametri di rigidezza per travi di inerzia variabile
- costruzione delle matrici elementari, ricorrenti nel metodo degli elementi finiti
METODI DI SOLUZIONE
- formula dei trapezi
- formule di Cotes
- formule di Gauss
INTEGRALI SEMPLICI
Assegnata una funzione Y=F(X) nell'intervallo A,B si vuole calcolare numericamente l'integrale
***
Sono disponibili, allo scopo, varie formule,
1 FORMULA DEI TRAPEZI
A) interpolando linearmente la funzione Y=F(X) nell'intervallo [A,B], si ottiene:
***
Il secondo termine A S,M, Š l'errore associato allo schema di integrazione. Risulta:
***
con M costante di maggiorazione dell'errore.
B) suddividendo l'intervallo [A,B] in parti uguali e applicando la formulazione A) a ciascun intervallo si ricava:
*** Il resto e' limitato dalla
***
2 FORMULE DI COTES
Si riferiscono a distribuzioni di punti su intervalli uniformi.
Interpolando la funzione Y=F(X) con polinomi di Lagrange P(X) si ottiene:
***
Le espressioni
***
sono i coefficienti di Cotes, associati ai polinomi di Lagrange
***
CASI PARTICOLARI
A) per N=1 (due punti di appoggio)
si ricava la formula dei trapezi
B) per N=2 (tre punti di appoggio)
si ricava la formula di Cavalieri-Simpson
COEFFICIENTI E RESTI DELLE FORMULE DI COTES
COEFFICIENTI DELLE FORMULE DI COTES
***
RESTI DELLE FORMULE DI COTES
*** Dall'esame dei resti delle formule di Cotes si deduce che le formule di ordine pari sono consigliabili per l'impiego.
3 FORMULE DI GAUSS
A parita' di carico computazionale, le formule di Gauss sono piu' accurate di quelle di Cotes.
Assegnata una funzione Y=F(X) e una funzione di ponderazione W(X)>0, si tratta di calcolare numericamente l'integrale
***
con BK, coefficienti della combinazione lineare di N valori speciali di Y=F(X) nei punti di appoggio X1,...XN. La funzione Y=F(X) puo' essere approssimata con polinomi ortogonali.
A) FORMULE DI GAUSS-LEGENDRE
Per i valori di N sufficientemente piccoli, e' convenientemente impiegato lo schema riferito ai polinomi di Legendre: ***
Per esempio, con N=0,1...,5 si ha:
***
Il resto della formula di quadratura di Gauss-Legendre risulta:
***
COEFFICIENTI DELLA FORMULA DI GAUSS-LEGENDRE
ESEMPIO APPLICATIVO
A) FORMULE DI GAUSS-LAGUERRE
Si impiegano per il calcolo numerico l'integrale
***
Con la posizione
***
si riscrive:
***
ove * e' la funzione di ponderazione.
C) FORMULE DI GAUSS-HERMITE
L'impiego e' consigliato nel caso in cui sia da calcolare l'integrale
***
ove * e' la funzione di ponderazione.
INTEGRALI DOPPI
Per il calcolo dell'integrale doppio
***
si impiegano le formule di Gauss e di Cotes, opportunamente estese.
La formula di Cavalieri-Simpson, riferita ad un elemento di forma rettangolare, diviene:
***
Le formule di Gauss sono preferite, perche' piu' accurate, a parita' di carico computazionale, rispetto a quelle di Cotes.
Se il dominio * e' suddiviso in elementi di forma quadrilatera, si pu• anzitutto operare una trasformazione di variabili, in modo da rendere quadrato l'elemento.
La trasformazione e' fornita dalle:
***
L'integrale da calcolare e' il seguente:
*** ove
***
Impiegando lo schema di Gauss-Legendre si ottiene:
***
E' semplice l'estensione al caso del prisma retto
***
Sono anche previste formule del tipo
***
mediante le quali si impiega un minor numero di punti di appoggio.
Le formule di Gauss-Legendre per il calcolo numerico di integrali doppi su domini triangolari, si ricavano nel modo seguente:
- si esegue la trasformazione di coordinate
***
Si calcola
***
ove * e' il doppio dell'area del triangolo IJM e
***
COEFFICIENTI DI GAUSS-LEGENDRE, PER LA QUADRATURA NUMERICA DI ELEMENTI DI FORMA TRIANGOLARE
COEFFICIENTI DI GAUSS-LEGENDRE, PER LA QUADRATURA NUMERICA DI ELEMENTI DI FORMA TETRAEDRICA
PROBLEMI TIPICI DI ANALISI STRUTTURALE, IN RELAZIONE AI QUALI SI RICHIEDA LA RISOLUZIONE DI PROBLEMI DI AUTOVALORI
- problemi di meccanica delle vibrazioni (dinamica delle strutture)
- problemi di trasmissione del calore
- problemi di stabilita' dell'equilibrio
METODI DI SOLUZIONE
- iterazione vettoriale diretta
- iterazione vettoriale inversa
- impiego delle propriet… della sequenza di Sturm
- analisi di Rayleigh-Ritz
PROBLEMI DI VALORI CARATTERISTICI O DI AUTOVALORI DI MATRICI QUADRATE
Data una matrice quadrata A(N X N), l'equazione
***
ne definisce il problema caratteristico.
La soluzione (non banale) del problema e' data dalle N coppie * di autovalori e autovettori.
Gli autovalori coincidono con le radici del polinomio caratteristico che si ricava da:
***
e cioe'
***
Non e' conveniente, sul piano numerico, risolvere il problema canonico della ricerca delle radici del polinomio caratteristico, perche' tale ricerca si svolgerebbe su un'equazione probabilmente mal condizionata e i cui coefficienti numerici AI derivano da precedenti manipolazioni algebriche.
Si preferisce adottare una o piu' tecniche di risoluzione che permettano di ricavare il limitato numero di autocoppie di interesse per il problema che si intende risolvere.
Impostazione del problema dell'analisi dinamica delle strutture, con particolare riferimento al metodo per sovrapposizione delle configurazioni modali.
I paragrafi 3 e 4 dello schema seguente trattano estensivamente i problemi caratteristici normali e generalizzati.
Gli argomenti elencati sono contenuti nel testo: "Analisi dinamica di strutture schematizzate mediante elementi finiti" (in corso di stampa).
ANALISI DINAMICA DELLE STRUTTURE
1. SOLUZIONE DELLE EQUAZIONI DI EQUILIBRIO DINAMICO
1.1. METODI PER INTEGRAZIONE DIRETTA
1.1.1. Metodo delle differenze centrali
1.1.2. Metodo di Houbolt
1.1.3. Metodo di Wilson
1.1.4. Metodo di Newmark
1.1.5. Metodi variazionali e dei residui pesati
1.2. METODO DELLA SOVRAPPOSIZIONE MODALE
1.2.1. Trasformazione della base degli spostamenti
1.2.2. Sistemi non smorzati
1.2.3. Sistemi smorzati
2. METODI PER INTEGRAZIONE DIRETTA
2.1. DEFINIZIONE DEGLI OPERATORI DI APPROSSIMAZIONE E DI CARICO NELL'INTEGRAZIONE DIRETTA
2.1.1. Metodo delle differenze centrali
2.1.2. Metodo di Houbolt
2.1.3. Metodo di Wilson
2.1.4. Metodo di Newmark
2.1.5. Metodi variazionali e dei residui pesati
2.2. CRITERI PER L'ANALISI DELLA STABILITA' DELLA SOLUZIONE
2.3. CRITERI PER L'ANALISI DELL'ACCURATEZZA DELLA SOLUZIONE
2.4. ANALISI DELLA STABILITA' E DELL'ACCURATEZZA DEI METODI PRESENTATI
3. GENERALITA' SULLA RISOLUZIONE DEI PROBLEMI CARATTERISTICI
3.1. ASPETTI FONDAMENTALI DELLA SOLUZIONE DEI SISTEMI DI EQUAZIONI CARATTERISTICHE. TOPOLOGIE.
3.1.1. Polinomi caratteristici del problema di autovalori * e dei problemi ridotti associati
3.1.2. Shifting
3.1.3. Effetti derivanti dalla presenza di elementi nulli
3.1.4. Trasformazione dei problemi di autovalori generalizzati * nella forma normale
3.2. TECNICHE DI SOLUZIONE APPROSSIMATA
3.2.1. La condensazione statica
3.2.2. Analisi di Rayleigh-Ritz
3.2.3. Metodo per sintesi delle componenti modali.
3.3. ANALISI DEGLI ERRORI DELLA SOLUZIONE
4. METODI DI SOLUZIONE DI PROBLEMI CARATTERISTICI
4.1. METODI DI ITERAZIONE VETTORIALE
4.1.1. Metodo di iterazione inversa
4.1.2. Metodo di iterazione in avanti
4.1.3. Impiego dello shifting nell'iterazione vettoriale
4.1.4. Iterazione con impiego del quoziente di Rayleigh
4.1.5. Riduzione della matrice K e normalizzazione di Gram-Schmidt
4.2. METODI DI TRASFORMAZIONE
4.2.1. Metodo di Jacobi
4.2.2. Metodo di Jacobi generalizzato
4.2.3. Metodo di quadratura inversa QR di Householder
4.3. TECNICHE DI ITERAZIONE POLINOMIALE
4.3.1. Iterazione polinomiale esplicita
4.3.2. Iterazione polinomiale implicita
4.3.3. Metodi basati sulla proprieta' della sequenza di Sturm
5. SOLUZIONE DI PROBLEMI CARATTERISTICI AD ELEVATO NUMERO DI GRADI DI LIBERTA'
5.1. Metodo della ricerca del determinante
5.2. Metodo dell'iterazione del sottospazio
PROBLEMI TIPICI DI ANALISI STRUTTURALE, IN RELAZIONE AI QUALI SI RICHIEDA LA RISOLUZIONE DI SISTEMI DI EQUAZIONI
- trave continua
- telai piani e spaziali
- studio di strutture schematizzate mediante elementi finiti
METODI DI SOLUZIONE
- metodi diretti
- metodi iterativi
- metodi semi-iterativi
- metodi misti
SOLUZIONE DI SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI
I metodi di soluzione di sistemi di equazioni lineari si distinguono in
metodi diretti
metodi iterativi
metodi semi-iterativi
metodi misti
I METODI DIRETTI: forniscono la soluzione esatta con un numero finito di operazioni, in assenza di errori di arrotondamento
I METODI ITERATIVI: pervengono alla soluzione esatta con procedimento passo-passo e con un numero infinito di iterazioni
I METODI SEMI-ITERATIVI: forniscono la soluzione esatta dopo un numero finito di iterazioni
I METODI MISTI: procedono per combinazione dei metodi diretti e iterativi
METODI DI ELIMINAZIONE DI GAUSS
Si realizza con la trasformazione del sistema A X=B, o:
*** in quello U X=C, ove:
*** e procede con la "sostituzione all'indietro".
Con la variante di Jordan l'eliminazione delle incognite viene effettuata sia nelle equazioni che seguono che in quelle che precedono l'incognita corrente. Il sistema che ne risulta e' diagonale, e pertanto di soluzione immediata. Nel metodo di Gauss il numero delle operazioni elementari e' dell'ordine di *; con la variante di Jordan diviene *. Sia per l'uno che per l'altro metodo, si deve provvedere alla permutazione di righe e/o colonne quando gli elementi pivotali siano nulli o comunque piccoli.
TECNICHE DI RICERCA PIVOTALE
Il PIVOTING PARZIALE, effettuato sulle righe, si realizza ricercando, al K-esimo passo del procedimento di eliminazione, nella colonna K, il coefficiente piu' grande in valore assoluto, dalla posizione K alla posizione N.
Il PIVOTING TOTALE si esegue ricercando l'elemento piu' grande nella intera sottomatrice quadrata a destra e sotto il K-esimo elemento diagonale. L'impiego computazionale decresce col procedere dell'eliminazione.
La scelta fra il primo e il secondo procedimento e', fra l'altro, determinata dalle seguenti circostanze:
A) il pivoting parziale assicura solamente che
***
mentre il pivoting totale realizza la condizione
***
B) il pivoting parziale conserva inalterata la struttura delle matrici sulle quali opera, il pivoting totale no.
C) la ricerca parziale dell'elemento pivotale si esegue con * confronti fra i numeri; quella totale con 1/6 * confronti.
FATTORIZZAZIONE TRIANGOLARE
La fattorizzazione triangolare consiste nel decomporre la matrice a
FATTORIZZAZIONE TRIANGOLARE
La fattorizzazione triangolare consiste nel decomporre la matrice A nel prodotto LDU, ove
L e' una matrice triangolare bassa
D e'una matrice diagonale
U e' una matrice triangolare alta
La possibilita' di effettuare la decomposizione e' assicurata dal "teorema LDU", alle cui ipotesi aderisce qualsiasi matrice non singolare.
Nella pratica si impiega anche la decomposizione A=LU, che in forma estesa si scrive:
***
Si verifica facilmente che i coefficienti di L e di U sono dati dalle formule:
***
Effettuata la decomposizione, il sistema di partenza si scrive:
***
Posto U X=Y e risolto il sistema L Y=B, si perviene alla soluzione della tecnica di pivoting parziale.
Se la matrice A e' simmetrica, la decomposizione si scrive:
***
Effettuata la decomposizione, il sistema di partenza si scrive:
***
Posto U X=Y e risolto il sistema L Y=B, si perviene alla soluzione ricercata.
L'accuratezza della decomposizione si puo' migliorare con l'applicazione della tecnica di pivoting parziale.
Se la matrice A e' simmetrica, la decomposizione si scrive:
***
SISTEMI TRIDIAGONALI
Un sistema tridiagonale A X=B presenta la matrice dei coefficienti a primo membro nella forma:
***
La soluzione del sistema puo' essere ancora ricavata col metodo di eliminazione di Gauss, dopo aver provveduto alla fattorizzazione della matrice A, per esempio nella forma A=L U, ove:
***
Sistemi tridiagonali si incontrano nella soluzione, con il metodo della ricerca del determinante, di problemi dinamici di corpi, in relazione ai quali si pervenga a sistemi di equazioni con matrici a banda stretta.
SISTEMI SPARSI
Un sistema di equazioni si definisce sparso quando la maggior parte dei termini della matrice dei coefficienti e' nulla. Matrici non molto sparse contengono il 90% di elementi nulli; matrici molto spesse giungono ad una percentuale del 99,9% di elementi nulli.
Gli algoritmi risolutivi devono essere organizzati in modo da escludere a priori operazioni il cui risultato si preveda essere comunque nullo.
E' ricorrente nella pratica la configurazione "a banda" della matrice dei coefficienti:
La caratteristica si conserva anche per i fattori triangolari L ed U, derivanti dalla decomposizione della matrice A. L'impiego dei fattori triangolari per la risoluzione di un sistema sparso, e' consigliato nei casi concreti.
E' pure ricorrente la configurazione "tridiagonale a blocchi"
Non si incontrano particolari difficolta' nella risoluzione, se si esegue un'opportuna partizione dei vettori dei termini noti e di quelli incogniti:
***
In questo caso i fattori L ed U non sono triangolari secondo la definizione usuale, ma triangolari a blocchi. Con riferimento alle sottomatrici generate, vale quanto detto per la risoluzione di un sistema con matrice dei coefficienti fattorizzata.
METODI ITERATIVI
La soluzione, con metodo iterativo, del sistema A X=B, si realizza a partire da una soluzione iniziale arbitraria X0, cui fa seguito una successione di valori X1,X2,...,convergenti alla soluzione X, dotata della precisione richiesta.
L'impiego dei metodi iterativi Š consigliato per sistemi sparsi di grandi dimensioni, perche' non vi si svolgono operazioni su elementi nulli della matrice A e perchŠ sono autocorrettivi.
Non sono indicati quando si debba utilizzarli per risolvere uno stesso sistema, in cui sia ripetutamente cambiato il vettore dei termini noti.
L'interazione di grado M e' rappresentata dall'equazione:
***
Per le iterazioni lineari e stazionarie di primo grado (M=1), si utilizza, generalmente, lo schema:
***
ove E e' una matrice (N X N) e QK e' un vettore dipendente da A, da B e da XK.
Si dimostra che lo schema iterativo converge se il raggio spettrale * della matrice di iterazione E e' minore di 1.
La velocita' asintotica di convergenza R e' definita come:
***
La velocita' asintotica di convergenza risulta costante per le iterazioni stazionarie. il valore assunto dal parametro R fornisce indicazioni sul numero di iterazioni necessario per ridurre l'errore EK=X -XK ad una frazione * assegnata.
Fra i metodi iterativi di piu'comune impiego si ricordano quelli di Jacobi, di Seidel e il metodi di rilassamento.
METODI DEL GRADIENTE
Sia A H=B il sistema lineare di cui si ricerca la soluzione ed X un valore approssimato di questa. Considerare le misure dell'errore:
***
si consideri in particolare la terza espressione, di valore sicuramente maggiore di zero se la matrice A e' definita positiva.
Assegnata una soluzione approssimata X diverso da H, risulta:
***
Questa equazione definisce un iper-ellissoide in uno spazio N-dimensionale. Il suo centro geometrico coincide con la soluzione H.
La forma dell'iper-ellissoide e l'orientamento dei suoi assi, sono determinati dalle proprieta' della matrice A. E' possibile effettuare una trasformazione di assi che riporti la forma quadratica N-dimensionale alla forma canonica.
Nel nuovo sistema di riferimento il centro dell'iper-ellissoide coincide con l'origine degli assi e gli assi coordinati del nuovo sistema di riferimento sono gli N autovettori della matrice A.
E' facile riconoscere che i semiassi dell'iper-ellissoide hanno le seguenti lunghezze:
***
Lo schema classico del gradiente, detto "steepest descent", o schema SD, e' rappresentato dall'equazione iterativa:
***
nella quale * e' uno scalare e PK Š il vettore normale all'iper-ellissoide nel punto X=XK.
La normale alla superficie definita coincide col gradiente del campo scalare * (Z e' la variabile nel nuovo sistema di riferimento in quel punto).
Operando la trasformazione di assi sul vettore normale PK, si deduce che la direzione di questo e' coincidente con quella del residuo, e' cioe' PK=-RK.
La costante * si determina in modo da rendere minimo il campo scalare.
Si ricava cosi' lo schema SD in forma esplicita:
***
L'interpretazione geometrica dello schema e' la seguente: *+ posto nella direzione del gradiente del campo scalare * in X=XK (direzione coincidente con quella del residuo). La posizione di * e' definita dalla condizione che * sia minimo rispetto ad *-
Poiche' la soluzione e' posta all'origine del nuovo sistema di riferimento, e' evidente che quante piu' componenti nulle presenta il vettore di iterazione iniziale, tanto piu' accelerato risultera' il metodo. L'ortogonalita' del vettore di iterazione iniziale con gli assi principali e' favorita dalla sfericita' dell'iper-ellissoide (in quanto l'annullamento delle rimanenti componenti del vettore e' da ricercarsi rispetto ad un numero di autovettori della quadrica, sicuramente inferiore).
Nel caso limite in cui l'iper-ellissoide coincida con una iper-sfera lo schema SD converge in una sola iterazione (e' il caso in cui la matrice A sia diagonale, con elementi diagonali uguali).
Per essere * legato ad XK con legge non lineare, lo schema SD rappresenta una iterazione non lineare e non stazionaria.
La convergenza, in assenza di opportuni dispositivi di accelerazione, e' lenta.
METODO DEL GRADIENTE CONIUGATO
Il metodo del gradiente coniugato costituisce una versione migliorata del metodo del gradiente.
In particolare, le direzioni PK sono definite in modo da convergere alla soluzione esatta - a meno di errori di arrotondamento - al piu' in N passo.
In questo senso il metodo GC Š considerato semi-iterativo.
Lo schema iterativo e' ancora fornito dalla:
***
con * identico a quello dello schema SD.
Cambia, invece, la definizione di PK, che soddisfa la relazione ricorrente:
***
Il fattore * si ricava imponendo che PK+1 sia ortogonale a PK rispetto alla matrice A (PK+1 APK=0; I,J=0,1,...,N-1; I diverso da J).
Si dimostra che all'N-esimo passo dell'iterazione, sia il residuo che il vettore PK devono essere nulli, ricavandosi cosi':
***
PROBLEMI TIPICI DI ANALISI STRUTTURALE, IN RELAZIONE AI QUALI SI RICHIEDA LA SOLUZIONE DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI
- analisi di strutture elastiche, in generale
- problemi di stabilita' dell'equilibrio
- problemi di subsidenza
METODI DI SOLUZIONE
- soluzione per differenze
- metodo di runge-kutta
- metodo predictor-corrector
- metodi variazionali
INTEGRAZIONE NUMERICA DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI E DI SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Una equazioni differenziale ordinaria del primo ordine nella funzione incognita Y(X), si scrive:
***
Un sistema di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine, nelle funzioni incognite YI(X)=1,...,N, si scrive invece
***
con H e P matrici quadrate di ordine N, dipendenti in generale da X e Q vettori dei termini noti.
La soluzione di una equazione differenziale o di un sistema di equazioni differenziali e' assicurata, assegnate le condizioni iniziali, da teoremi di esistenza e unicita' della soluzione.
EQUAZIONI ALLE DIFFERENZE
Una equazione alle differenze contiene:
- una variabile indipendente intera K
- una variabile dipendente discreta YK
- una o piu'differenze *
La sua espressione generale e':
***
Se la funzione F e' lineare si ha:
***
La soluzione corrisponde a valori interi dell'indice K ed e' quindi una soluzione discreta.
STABILITA' ED ACCURATEZZA DELLA SOLUZIONE
Gli errori ricorrenti nella soluzione numerica per differenze, delle equazioni differenziali, sono essenzialmente di due tipi:
- errori di troncamento
- errori di arrotondamento
Gli errori di troncamento derivano dalla sostituzione di operatori discreti a quelli continui dello schema differenziale di partenza.
Gli errori di arrotondamento sono dovuti alla natura numerica delle operazioni, che si compiono su un numero limitato di cifre significative.
Al primo inconveniente si pu• ovviare diminuendo l'ampiezza del passo di integrazione, mediante il quale si esprime la variabile indipendente all'N-esimo passo: XN=N H.
Il secondo inconveniente non dipende da H ed Š legato intrinsecamente allo schema dottato, oltre che alle caratteristiche del computer.
SCHEMI RICORRENTI PER L'INTEGRAZIONE DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI
A) metodo di Eulero: di interesse quasi esclusivamente storico. Scarsamente impiegato.
B) metodo di Runge-Kutta: particolarmente indicato se le derivate della Y di ordine superiore al primo hanno una espressione analitica complessa.
C) metodo predictor-corrector di Milne: di comune impiego. Si applica utilizzando, in sequenza formule di predizione e formule di correzione della funzione incognita.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE PARZIALI DEL SECONDO ORDINE
Queste equazioni controllano numerosi fenomeni fisici:
- meccanica industriale
- trasmissione del calore
- idrodinamica
- elettromagnetismov - meccanica quantistica
- inquinamento atmosferico
Una tipica equazione, lineare nelle derivate seconde, ha la forma:
***
ove A,B,C, ed E sono funzioni di *
All'equazione resta associato il discriminante D=B2 - AC, mediante il quale si definiscono tre classi di equazioni:
D>0 equazioni iperboliche (per es. l'equazione di propagazione delle onde)
D=0 equazioni paraboliche (per es. l'equazione di trasmissione del calore)
D<0 equazioni ellittiche (per es. l'equazione dell'equilibrio elastico)
In relazione alle tre classi di equazioni, si individuano domini di integrazione e condizioni al contorno tipici:
EQUAZIONI IPERBOLICHE: Il dominio di integrazione e' generalmente delimitato dalle semirette verticali X=0 e X=X0, essendo anche Y>=0.
Per * ed Y=0, le funzioni U(X,0) e * sono assegnate come indicazioni iniziali. Se e' assegnata la sola funzione si hanno condizioni al contorno di Dirichlet; se e' assegnata la derivata normale, le condizioni sono del tipo Neuman.
EQUAZIONI PARABOLICHE: Il dominio di integrazione coincide con quello definito per le equazioni iperboliche. Le condizioni al contorno differiscono, per essere assegnata sulla porzione dell'asse X solo la funzione iniziale U(X,0), mentre sulle semirette verticali X=0 e X=X0 sono date condizioni di Dirichlet.
EQUAZIONI ELLITTICHE: Il dominio e' normalmente inscritto in una curva chiusa. Su parte di questa sono normalmente specificate condizioni di Dirichlet e sulla parte restante, condizioni di Neuman.
I METODI VARIAZIONALI
I metodi variazionali sono fondati sull'approssimazione diretta della soluzione, attraverso l'annullamento del residuo. Questi metodi differiscono dalle tecniche per differenze, che procedono per approssimazione dell'equazione differenziali con impiego di operatori alle differenze finite.
Fra i metodi variazionali si ricorda quello dei residui pesati e, in particolare, il metodo di Galerkin. In forma matematica si pone:
***
ove
A e' un operatore differenziale
UN e' una soluzione approssimata espressa come segue
***
con NI(X,Y,Z) funzioni note combinate linearmente con I coefficienti incogniti AI(I=1,...,N)
B e' una funzione assegnata
WI sono funzioni di ponderazione
* il dominio di integrazione
Nel metodo di Galerkin, le funzioni di ponderazione coincidono con le funzioni di base NI. Il metodo degli elementi finiti Š un metodo variazionale, associato a funzioni di base polinomiali a supporto locale. Il supporto e' realizzato con nodi di un reticolo che occupa il dominio di integrazione e lo suddivide in elementi.
PROBLEMI TIPICI DI ANALISI STRUTTURALE, IN RELAZIONE AI QUALI SI CONFIGURA UN PROBLEMA DI PROGRAMMAZIONE MATEMATICA
- studio delle strutture di materiale elastoplastico
METODI DI SOLUZIONE
- metodo del simplesso
PROGRAMMAZIONE MATEMATICA
L'obiettivo della programmazione matematica Š quello di ricavare, in relazione ad un determinato problema, il massimo o il minimo di una funzione soggetta a vincoli.
Si tratta, in definitiva, di un problema di ottimizzazione.
In sintesi, il problema puo' essere formulato, nel caso lineare, in termini di ricerca del minimo di:
***
ove C e' un vettore contenente termini costanti ed A la matrice (M X N) del sistema che definisce i vincoli del problema di programmazione.
Il dominio entro il quale risiede la soluzione e' un iper-poliedro convesso. Generalmente, la soluzione coincide con un suo vertice.
Il metodo del simplesso procede con l'esame dei vertici, fino alla individuazione di quello corrispondente alla soluzione (minimizzazione della funzione obiettivo).
Definizioni:
***
La programmazione lineare e' un caso particolare della programmazione matematica. Se la funzione obiettivo e' una funzione quadratica il corrispondente problema di programmazione e' definito quadratico.
Per processi di cui si prevede una evoluzione temporale, si fa rifermento alla programmazione dinamica.
Per informazioni:
HSH srl - Via N. Tommaseo 13 - 35131 PADOVA
Tel. (049) - 66 38 88 / 875 27 24 - Fax 875 87 47
HSH